"Кенгуру" 2012 - 7-8 класс, задания и ответы

Завершился международный математический конкурс «Кенгуру»-2012. Представляем вниманию школьников 7-8 классов и их родителей возможность сверить свои задания с ответами к конкурсу «Кенгуру».
Вопросы сгруппированы по сложности (по баллам). Ответы на задания находятся после вопросов.

Задачи, оцениваемые в 3 балла

1. Кенгуру способен прыгнуть в длину на 1 сантикилометр. Сколько метров составляет длина такого прыжка?
Варианты:
(А) 1 (Б) 5 (В) 10 (Г) 50 (Д) 100

2. Часы лежат на столе циферблатом вверх. Минутная стрелка сейчас указывает на северо-восток. Через сколько минут она укажет на северо-запад?
Варианты:
(А) 45 (Б) 40 (В) 30 (Г) 20 (Д) 15

3. В каком из следующих выражений при замене цифры восемь на любую другую цифру результат не изменится?
Варианты:
(А) (8 + 8): 8 + 8
(Б) 8 • (8 + 8): 8
(В) 8+8-8+8
(Г) (8 + 8 - 8) • 8
(Д) (8 + 8 - 8): 8

4. Веня сложил лист бумаги пополам (как показано на рисунке) и сделал два прямых разреза ножницами. Затем он развернул лист. Какую фигуру он не мог при этом получить?

Варианты:

5. Натуральные числа х и у таковы, что 12х и 18y являются точными квадратами. Чему равно наименьшее возможное значение суммы х + у ?
Варианты:
(А) 2 (Б) 5 (В) 7 (Г) 13 (Д) 30

6. На рисунке изображена схема дорожек в парке. Каждая из этих девяти дорожек имеет длину 100 м. Аня хочет прогуляться из точки А в точку В, не проходя ни по какой дорожке дважды. Какова наибольшая длина такой прогулки?

Варианты:
(А) 900 м (Б) 800 м (В) 700 м (Г) 600 м (Д) 400 м

7. Сколько существует различных треугольников, у которых одна из сторон равна 1, а два угла равны 50° и 60°?
Варианты:
(А) 1 (Б) 2 (В) 3 (Г) 4 (Д) ни одного

8. Числа a, b, с и d таковы, что
Тогда обязательно
Варианты:
(А) а = с и b=d
(Б) а = b и c = d
(В) a = d и b = c
(Г) a = b = c = d
(Д) a+b = c + d

9. На какое наименьшее число треугольников можно разрезать фигурку кенгуру на рисунке?

Варианты:
(А) 5 (Б) 6 (В) 7 (Г) 8 (Д)9

10. Чему равен куб периметра квадрата площади 4?
Варианты:
(А) 4 (Б) 8 (В) 64 (Г) 512 (Д) 1024

Задачи, оцениваемые в 4 балла

11. Барбара заполняет пустые клетки таблицы (см. рисунок). Она хочет, чтобы сумма трех верхних чисел была равна 100, сумма трех средних чисел была равна 200, а сумма трех нижних чисел была равна 300. Какое число она должна поставить в среднюю клетку?

Варианты:
(А) 50 (Б) 60 (В) 70 (Г) 75 (Д) 100

12. Есть четыре карточки с надписями: «делится на 7», «простое», «нечетное» и «больше 100». На другой стороне карточек написаны числа 2, 5, 7 и 12. Для любой карточки число, написанное на ней, не обладает свойством, написанным на ее обороте. Какое число написано на карточке с надписью «делится на 7»?
Варианты:
(А) 2 (Б) 5 (В) 7 (Г) 12 (Д) невозможно определить

13. В пятиконечной звезде даны три угла (см. рисунок). Известно, что АВ=ВС. Чему равен угол х?

Варианты:
(А) 35° (Б) 42° (В) 54° (Г) 65° (Д) 109°

14. Миша выбирает несколько чисел из набора 1, 2, ..., 10 так, чтобы ни одно выбранное число не было в два раза больше другого. Какова наибольшая возможная сумма таких чисел?
Варианты:
(А) 37 (Б) 39 (В) 41 (Г) 42 (Д) 45

15. Число х положительно, а число у отрицательно. Что обязательно произойдет, если число х увеличится, а число у уменьшится?
Варианты:
(А) х + у уменьшится
(Б) xy увеличится
(В) x/y уменьшится
(Г) y/x уменьшится
(Д) х-у увеличится

16. За один шаг робот может либо умножить данное число на 2, либо поделить его на 3, либо возвести его в квадрат. За какое наименьшее число шагов этот робот может превратить число 45 в число 200?
Варианты:
(А) 7 (Б) 6 (В) 5 (Г) 4 (Д) 3

17. Игральный кубик прокатили по клетчатой дорожке (см. рисунок). В каких двух позициях верхняя грань кубика была одна и та же?

Варианты:
(А) 1 и 7 (Б) 2 и 6 (В) 1 и 5 (Г) 2 и 7 (Д) 1 и 6

18. У Пети и Коли были две одинаковые прямоугольные карточки. Каждый мальчик разрезал свою карточку на два прямоугольника. Сумма периметров прямоугольников, которые получились у Пети, равна 40, а у Коли — 50. Чему равен периметр исходной карточки?
Варианты:
(А) 20 (Б) 24 (В) 30 (Г) 36 (Д) так разрезать карточки невозможно

19. В одном городе 20% семей, имеющих кошек, имеют также и собак, 25% семей, имеющих собак, имеют также и кошек, а 20% всех семей не имеют ни кошек, ни собак. Сколько семей в этом городе имеют и кошек, и собак?
Варианты:
(А) 50 % (Б) 25 % (В) 20 % (Г) 10 % (Д) 5 %

20. Какое число надо удалить из набора 1,2, 3, ..., 9, чтобы наименьшее общее кратное оставшихся чисел было самым маленьким из возможных?
Варианты:
(А) 9 (Б) 8 (В) 7 (Г) 6 (Д) 5

Задачи, оцениваемые в 5 баллов

21. Числа 1,2, ..., 12 расставлены по кругу так, что любые два соседних числа различаются либо на 2, либо на 3. Какие два числа стоят рядом?
Варианты:
(А) 6 и 8 (Б) 3 и 5 (В) 7 и 9 (Г) 5 и 8
(Д) так расставить числа нельзя

22. Все углы шестиугольника ABCDEF равны 120°. Известно, что АВ = 3, ВС = 4 , CD = 5 и EF=1. Найдите DE + AF.
Варианты:
(А) 8 (Б) 10 (В) 13 (Г) 14 (Д) 15

23. Натуральные числа а и b таковы, что a + b = 125. Какое из равенств А-Г возможно при некотором натуральном k ?
Варианты:

24. В квадрате 3x3 расставлены числа так, что произведение чисел в каждой строке и в каждом столбце равно 1, а произведение чисел в каждом квадрате 2x2 равно 2. Какое число стоит в центральной клетке?
Варианты:
(А) 16 (Б) 8 (В) 4 (Г)1/4 (Д)1/8

25. Передние колеса роликовых коньков приходят в негодность после 300 км пробега, а задние — после 500 км. Диме подарили новые роликовые коньки. После скольких километров пробега ему нужно поменять местами задние и передние колеса, чтобы они прослужили одинаково долго?
Варианты:
(А) 212,5 км (Б) 200 км (В) 187,5 км (Г) 175 км (Д) 162,5 км

26. Равносторонний треугольник поворачивают относительно центра на 3°, потом на 9°, на 27°, и т.д. (на n-м шаге его поворачивают на 3ⁿ градусов). Сколько всего разных положений будет занимать треугольник?
Варианты:
(А)3 (Б) 4 (В) 5 (Г) 6 (Д)360

27. Произведение всех натуральных делителей числа n (включая и само n) оканчивается ровно на 15 нулей. На какое наибольшее количество нулей может оканчиваться число n ?
Варианты:
(А) 5 (Б) 4 (В) 3 (Г) 2 (Д)1

28. Бумажный прямоугольников CD со сторонами АВ = 3 и ВС = 9 перегнули так, что вершина С совпала с вершиной А (см. рисунок). Чему равна площадь закрашенного пятиугольника?

Варианты:
(А) 18 (Б) 19,5 (В) 20,5 (Г) 21 (Д) 27

29.       Назовем семизначное число счастливым, если у него сумма цифр, стоящих на четных местах, равна сумме остальных цифр. Число может оказаться счастливым, если
Варианты:
(A)     его цифры увеличиваются слева направо
(Б) его цифры уменьшаются слева направо
(B)       на всех нечетных местах стоит цифра 7
(Г) его средняя цифра равна 1, а остальные симметричны относительно нее
(Д) его средняя цифра равна 2, а остальные симметричны относительно нее

30. У Васи много квадратов со стороной 1 и правильных пятиугольников со стороной 1. Он хочет сложить из них «кольцо», прикладывая имеющиеся многоугольники друг к другу сторонами так, чтобы квадраты и пятиугольники чередовались. При этом образовавшийся внутри кольца многоугольник должен быть выпуклым. Какое наименьшее количество фигур ему придется использовать?
Варианты:
(А) 8 (Б) 10 (В) 12 (Г) 16 (Д) 20

Ответы к конкурсу «Кенгуру»-2012 для 7-8 класса: